<t->
          Tudo  Matemtica
          8 ano
          Ensino Fundamental

          Luiz Roberto Dante

          Impresso Braille em
          9 partes, na diagramao de
          28 linhas por 34 caracteres,
          da 3 edio, 1 impresso,
          So Paulo, 2011, 
          Editora tica

          Sexta Parte

          Ministrio da Educao
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
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          Tel.: (21) 3478-4400
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          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2012 --
<p>
          Gerente Editorial
          Mrcia Takeuchi

          Editora 
          Crmen Slvia Rela 
          Matricardi

          Editoras de Texto 
          Ldia La Mark
          Snia Scoss Nicolai
 
          Assessoria Didtica
          Clodoaldo Pereira Leite
          
          ISBN 978-85-08-12485-5

          2011
          Todos os direitos reservados 
          pela Editora tica S.A.
          Av. Otaviano Alves de Lima, 
          4.400 -- 5 andar e andar 
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          Tel.: 0800-115152 
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          ~,www.atica.com.br~,
          ~,editora@atica.com.br~,
<P>           
                                I
Sumrio

Sexta Parte

Captulo 8

Quadrilteros e 
  circunferncias ::::::::::: 591  

1. Quadrilteros :::::::::: 593  
Caractersticas de um 
  quadriltero convexo :::::: 598
Paralelogramos ::::::::::::: 602  
Propriedades dos 
  paralelogramos :::::::::::: 603  
Propriedade do retngulo ::: 611  
Propriedade do losango ::::: 613  
Trapzios :::::::::::::::::: 622 
Tipos de trapzio :::::::::: 625  
Base mdia de um 
  trapzio :::::::::::::::::: 631

2. Circunferncias :::::::: 637  
Posies relativas de uma 
  reta e de uma 
  circunferncia :::::::::::: 642 
<p>
Circunferncia inscrita e 
  circunferncia circunscrita 
  a um polgono ::::::::::::: 646 
Posies relativas de duas 
  circunferncias ::::::::::: 650 
ngulos em uma 
  circunferncia :::::::::::: 653
ngulo central ::::::::::::: 653  
Uma aplicao do ngulo 
  central: traado do 
  hexgono regular :::::::::: 654
ngulo inscrito :::::::::::: 660
Relao entre ngulo central 
  e ngulo inscrito ::::::::: 663 
ngulo de segmento ::::::::: 668 

Reviso cumulativa ::::::::: 670  
Para ler, pensar e 
  divertir-se ::::::::::::::: 675
<154>
<Ttudo  mat. 8 ano>
<t+591>
Captulo 8

<R+>
<F->
_`[{o contedo deste captulo, bem como as atividades propostas so predominantemente visuais. Para melhor aproveitamento, pea orientao ao professor_`]

Quadrilteros e circunferncias

Observe ao seu redor. 
Facilmente voc vai identificar quadrilteros e circunferncias.
<F+>
<R->

  Nas ilustraes a seguir voc tem objetos e construes nos quais pode identificar quadrilteros.

<R+>
<F->
_`[{seis fotos adaptadas_`]
Foto 1: casas no "Bairro do Pelourinho, Salvador, Bahia".
Foto 2: uma nota de um real.
Foto 3: uma planificao de um paraleleppedo.
<p>
Foto 4: um notebook.
Foto 5: um campo de futebol.
Foto 6: a filha olhando o pai que segura uma pipa quadrangular.
<F+>
<R->

<199>
  Agora voc tem ilustraes nas quais pode identificar circunferncias e crculos. Os seres humanos admiram e usam a forma circular desde a Antiguidade. 

<R+>
<F->
_`[{seis fotos adaptadas_`]
Foto 1: ondas circulares.
Foto 2: roda gigante.
Foto 3: pandeiro.
Foto 4: anis.
Foto 5: bicicleta.
Foto 6: miolo de uma flor.

Neste captulo vamos estudar as caractersticas e propriedades de quadrilteros e circunferncias e ampliar os conhecimentos adquiridos at aqui sobre essas figuras geomtricas.
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::
<200>
<p>
1. Quadrilteros

  Voc j viu:

<R+>
Quadriltero  todo polgono de quatro lados.
<R->

  Os quadrilteros classificam-se em paralelogramos, trapzios e outros. Veja alguns exemplos:

<R+>
<F->
Paralelogramos:

Paralelogramo qualquer

    cccccccccccccccm 
                  
                 
                
---------------
<p>
Losango

     
      
       
        
         
          o
         
        
         
      
     

Retngulo

!:::::::::::::::
l               _
l               _
l               _
l               _
h:::::::::::::::j
<p>
Quadrado

!:::::::
l       _
l       _
l       _
l       _
h:::::::j

Trapzios:

Trapzio issceles

    ccccccc
            
               
              
---------------u

Trapzio retngulo

pcccccccccc
l             
l            
l             
l              
v---------------u
<p>
Trapzio qualquer

     *::::::::
    i          ^  
   i             ^
  i                ^
 i                   ^
j::::::::::::::::::::::h

Quadrilteros que no so nem paralelogramos nem trapzios.

"Pipa" ou "papagaio"

<F->
     
      
       
        
         
          o
         
        
         
      
     
<p>
Quadriltero convexo _`[no adaptado_`]

Quadriltero no convexo _`[no adaptado_`]
<F+>
<R->

Atividades

1. Atividade em dupla
  Conversem sobre as caractersticas de quatro dos quadrilteros anteriores.

<R+>
<F->
2. Desenhe um quadriltero:
a) qualquer;
b) que seja paralelogramo;
c) que seja trapzio;
d) que no seja nem paralelogramo nem trapzio.
<F+>
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<p>
<R+>
<F->
3. Copie apenas as afirmativas verdadeiras.
a) Todo retngulo  paralelogramo.
b) Todo quadrado  retngulo.
c) Todo paralelogramo  losango.
d) Todo quadrado  losango.
<F+>
<R->

<201>
<R+>
Caractersticas de um 
  quadriltero convexo
<R->

  Recorde, amplie e aplique seus conhecimentos sobre os quadrilteros convexos.

Atividades

<R+>
<F->
_`[{para as atividades 4, 5 e 7 pea orientao ao professor_`]

4. Considerando o quadriltero {a{b{c{d  _`[no adaptado_`] e o que voc viu no captulo anterior, responda quantos e quais so:
a) os seus lados;
b) os seus vrtices;
<p>
c) as suas diagonais;
d) os seus ngulos internos.

5. Desenhe um quadriltero convexo e identifique os ngulos externos.
<F+>
<R->

<R+>
<F->
6. Responda em seu caderno:
a) Qual  a frmula que indica a soma das medidas dos ngulos internos de um polgono convexo de n lados?
b) Como podemos obter essa soma usando a frmula do item a no caso do quadriltero convexo?
c) Qual  a soma das medidas dos ngulos externos em um quadriltero convexo?

7. Observe a sequncia de figuras _`[no adaptadas_`]. O que ela est sugerindo?
<F+>
<R->
  Agora, desenhe um quadriltero em uma folha de papel e faa o mesmo com ele.
<p>
<R+>
8. Demonstre que a soma das medidas dos ngulos internos de um quadriltero  360, partindo do fato de que a soma dos ngulos internos de um tringulo  180.

9. Considere cada um dos quadrilteros a seguir e determine o valor de cada uma das medidas dos ngulos internos:
<R->

<R+>
<F->
a)
      cccccccccccccccccm 
     2x+30       x    
                     
                    
                   
  x      3x-20 
-----------------

b) ngulos medindo 3x, 75, 85 e 110.
<F+>
<R->
<p>
<R+>
10. Um dos ngulos de um quadriltero mede 120. Os outros trs ngulos tm medidas iguais. Quanto mede cada um desses trs ngulos?
<R->
<202>
<R+>
<F->
11. Qual  a medida do quarto ngulo de um quadriltero sabendo que as medidas dos outros trs so: 65, 104 e 96.
12. Quais so as medidas dos ngulos internos deste quadriltero?

_`[{figura adaptada_`]
ngulos medindo x+20, x+10, 100 e x+50.

13. Quais so as medidas dos ngulos de um quadriltero sabendo que um dos ngulos mede x graus e os outros ngulos medem o dobro, o triplo e o qudruplo de x? 
<p>
14. Num quadriltero {a{b{c{d, temos que :A mede 20 a mais do que :B, :C mede 20 a menos do que :B, e :D mede o dobro da medida de :C. Quantos ngulos agudos tem esse quadriltero? 

Paralelogramos

  Voc j viu:

Paralelogramo  todo quadriltero cujos lados opostos so paralelos.

<F->
      A                B
      cccccccccccccccccm 
                         
                     
                    
                   
                  
-----------------
C               D
<F+>
<p>
^c?{a{b*_l^c?{c{d* e ^c?{a{c*_l^c?{b{d*

Propriedades dos paralelogramos
<F+>
<R->

  Vamos demonstrar algumas propriedades dos paralelogramos.

<R+>
<F->
1 propriedade

Em todo paralelogramo, dois ngulos opostos so congruentes (medidas iguais) e dois ngulos no opostos so suplementares (soma das medidas: 180).

A              B
ccccccccccccccc
                
                 
                  
                   
                    
      ---------------u
      D              C
<p>
Demonstrao:
Se {a{b{c{d  um paralelogramo, temos ^c?{a{b*_l^c?{c{d* e podemos considerar ^c?{a{d* uma transversal.
Ento, :a e :d so ngulos colaterais internos.
Com base nisso podemos afirmar que m:a+m:d=180 ou que :a e :d so suplementares I.
<F+>
<R->

<F->
                
A               B
ccccccccccccccccccccccc
     :a       :b 
                    
                     
                      
         :d       :c 
---------u---------------u-----
       D                 C
                          
<F+>

  Da mesma forma, considerando:
<R+>
<F->
 ^c?{a{b*_l^c?{c{d* e a transversal ^c?{b{c*, conclumos que m:b+m:c=180 II;
<p>
 ^c?{a{d*_l^c?{b{c* e a transversal ^c?{a{b*, conclumos que m:a+m:b=180 III;
 ^c?{a{d*_l^c?{b{c* e a transversal ^c?{c{d*, conclumos que m:c+m:d=180 IV.
<F+>
<R->
  Usando essas afirmaes, voc pode completar a demonstrao e concluir que m:a=m:c e m:b=m:d. Faa isso.

<203>
2 propriedade

<R+>
Em todo paralelogramo, os lados opostos so congruentes.
<R->

  Devemos demonstrar que ^c?{a{b*==^c?{d{c* e ^c?{a{d*==^c?{b{c*.
  Traamos ^c?{a{c*. Em tringulo {a{b{c e tringulo {a{d{c temos:
<R+>
<F->
m:x=m:w (medidas dos ngulos alternos internos)
<p>
m:y=m:z (medidas dos ngulos alternos internos)
^c?{a{c*==^c?{a{c* (lado comum)
<F+>
<R->
  Pelo caso ALA, conclumos que tringulo {a{b{c== tringulo {a{d{c. Logo, ^c?{a{b*==^c?{d{c* e ^c?{a{d*==^c?{b{c*.

3 propriedade

<R+>
Em todo paralelogramo, as diagonais cortam-se ao meio.
<R->

  Considerando o paralelogramo {a{b{c{d e as diagonais ^c?{a{c* e ^c?{b{d*, temos: tringulo {a{o{b== tringulo {c{o{d (caso ALA).
  Da congruncia desses tringulos deduzimos que ^c?{a{o*==^c?{c{o* e ^c?{b{o*==^c?{d{o*, ou seja, o ponto O, cruzamento das diagonais,  o ponto mdio das duas diagonais.
<p>
Atividades

<R+>
<F->
15. Em um paralelogramo:
a) se um dos ngulos internos mede 65, quanto medem os outros trs?
b) se um ngulo interno mede o dobro de outro, quais so as medidas dos quatro ngulos internos?

16. Calcule as medidas dos quatro ngulos internos dos seguintes paralelogramos:
a)                     
      cccccccccccccccccm 
                  5x    
                     
                    
                   
 3x+22         
-----------------
<p> 
b)
pa,.
l   a,.
lx-15a,. 
l         a, 
l          _
l          _
lx~2+30_
a,.        _
   a,.     _
      a,.  _
         a,#             
<F+>
<R->

<204>
<R+>
<F->
17. As trs propriedades que demonstramos para os paralelogramos so vlidas para o retngulo, para o losango e para o quadrado. Justifique. 

18. Copie em seu caderno apenas as afirmaes verdadeiras:
a) As diagonais do retngulo cortam-se ao meio.
b) As diagonais do trapzio cortam-se ao meio.
<p>
c) As diagonais do quadrado cortam-se ao meio.
d) As diagonais do losango cortam-se ao meio.

19. Determine o valor das medidas de x e y no paralelogramo {a{b{c{d:

      A                B
      ccccccccccccccccccm 
                          
                      
                     
                    
                   
------------------
D               C

^c?{a{c*=x+2,5 cm
^c?{b{d*=y+4 cm
<p>
20. Descubra qual  a medida de cada ngulo indicado no paralelogramo {p{q{r{s a seguir:

Legenda:
  ngulo S=20
  ngulo R=110

        P        Q
        ccccccccm 
             *a    
           *a  
         *a   
       *a    
     *a       
  -"u------
 S         R

a) :?{s{p{q*
b) :?{p{s{r*
c) :?{s{q{r*
<p>
Propriedade do retngulo

  Vamos demonstrar que:

As diagonais de um retngulo so congruentes.
<F+>
<R->

  Considerando o retngulo {a{b{c{d a seguir. Devemos de-
 monstrar que ^c?{a{c*==^c?{b{d*.

  Analisando os elementos do tringulo {a{d{c e do tringulo {b{c{d, temos:

<F->
A               B
!::::::::::::::::
l                _
l                _
l                _
l                _
l                _
l                _
h::::::::::::::::j
D               C
<p>
A   
.
le
l  e
l    e
l      e
l        e
l          e
r::         e
l_-_           e
v--#------------o  
D              C

              B
               .       
             ^_ 
           ^  _     
         ^    _       
       ^      _         
     ^        _           
   ^       !::w         
 ^         l_-_           
-----------v--#
D             C
<f+>

<R+>
<F->
 ^c?{a{d*==^c?{b{c* (lados opostos de um retngulo)
 :{d==:{c (retos)
 ^c?{d{c*==^c?{d{c* (lado comum)
<F+>
<R->
  Pelo caso LAL, temos que tringulo {a{d{c== tringulo {b{c{d.
  Portanto, ^c?{a{c*==^c?{b{d*.
  Considerando as propriedades demonstradas, podemos afirmar:

<R+>
As diagonais de um retngulo so congruentes e cortam-se ao meio.
<R->

<205>
Propriedade do losango

  Agora, vamos demonstrar uma propriedade dos losangos (paralelogramos que tm os quatro lados congruentes).

<R+>
As diagonais de um losango so perpendiculares entre si e esto contidas nas bissetrizes dos ngulos internos do losango.
<R->

  Considere o losango {a{b{c{d da figura a seguir.

<F->
           A
           .
          ile 
         i l e
        i  l  e 
       i   l   e 
      i    l    e
     i     l     e
    i      r::   e
   i       l_-_    e
D::::::::r::j:::::oB
   e       lO     i
    e      l      i
     e     l     i
      e    l    i
       e   l   i
        e  l  i
         e l i
          eli
           C
<F+>

  Demonstrao:

<R+>
<F->
1 parte) tringulo {o{a{b e tringulo {a{o{d tm:
 ^c?{a{b*==^c?{a{d* (lados do losango)
<p>
 ^c?{o{b*==^c?{o{d* (O  ponto mdio da diagonal)
 ^c?{a{o*==^c?{a{o* (lado comum) 
<F+>
<R->
  Pelo caso LLL, temos tringulo {a{o{b== tringulo {a{o{d e da temos m:x=m:y.
  Como m:x+m:y=180, ento m:x=90 e m:y=90.
  Logo, ^c?{b{d* e ^c?{a{c* so perpendiculares entre si.
  
<R+>
<F->
2 parte) tringulo {a{b{c e tringulo {a{d{c tm:
 ^c?{a{b*==^c?{a{d* (lados do losango)
 ^c?{b{c*==^c?{d{c* (lados do losango)
 ^c?{a{c*==^c?{a{c* (lado comum)
<F+>
<R->
  Pelo caso LLL, temos tringulo {a{b{c== tringulo {a{d{c e da temos :7==:8 e :4==:3.
<p>
  Ento, ^c?{a{c* est sobre as bissetrizes de :{a e de :{c.
  Da mesma forma, usando tringulo {a{b{d e tringulo {c{b{d podemos mostrar que :1==:2 e :6==5, ou seja, a diagonal ^c?{b{d* est sobre as bissetrizes de :{b e :{d.
<R+>
Observao: Com essa propriedade podemos justificar a construo com rgua e compasso da mediatriz de um segmento de reta.
<R->

<F->
          l
         oD 
          l
          l
          l   
      pcccpccc
      l_- l_- _
o----v---v---#------o 
A  El_- l_- _      B
      v---v---# 
          l
          l
          l
         oC
          lm      
<F+>
<p>
  Veja:

<R+>
{a{c{b{d  um losango e ^c?{a{b* e ^c?{c{d* so suas diagonais. Logo, ^c?{a{e*==^c?{b{e* e :?{c{e{b*  reto, pois as diagonais do losango cortam-se ao meio e so perpendiculares. Podemos afirmar que ~:,?{c{d* (m)  a mediatriz de ^c?{a{b*. 
<R->

<206>
Atividades

<R+>
<F->
_`[{para as atividades 21 e 23, pea orientao ao professor_`]

21. Desenhe o losango {r{h{m{p em seu caderno e depois copie apenas as afirmaes que so corretas para ele e para qualquer outro losango.
a) :{r  reto.
b) :{r==:{m
c) ^c?{r{m*#.^c?{h{p*
d) ^c?{r{m*==^c?{h{p*
e) ^c?{o{h*==^c?{o{p*
f) :?{m{o{p*  reto.
<p>
g) :?{h{m{p*==:?{m{p{r*
h) :?{r{p{o*==:?{m{p{o*
i) ^c?{r{p*==^c?{p{m*
j) ^c?{r{h*_l^c?{p{m*
k) ^c?{o{p*==^c?{o{m*
l) ^c?{o{r* mede a metade de ^c?{r{m*.

22. Com base nas definies e demonstraes j feitas e lembrando que todo quadrado  um quadriltero convexo, um paralelogramo, um retngulo e um losango, responda no caderno:
a) Quantos lados tem um quadrado?
b) Quantos vrtices tem um quadrado?
c) Como so os lados opostos em um quadrado?
d) Quantas diagonais tem um quadrado?
e) O quadrado  um polgono regular?
f) Qual  a soma das medidas dos ngulos internos de um quadrado?
g) Qual  a medida de cada ngulo interno em um quadrado?
<p>
h) Qual  a medida de cada ngulo externo em um quadrado?
i) As diagonais de um quadrado so congruentes?
j) As diagonais de um quadrado cortam-se ao meio?
k) As diagonais de um quadrado so perpendiculares?
l) As diagonais de um quadrado esto sobre as bissetrizes dos ngulos internos?

23. Agora, desenhe o quadrado {a{f{b{q e depois copie apenas as afirmaes que so corretas para esse e para os demais quadrados.
a) :{a  reto.
b) :{f==:{q
c) ^c?{a{b*#.^c?{f{q*
d) ^c?{a{b*==^c?{f{q*
e) ^c?{f{l*==^c?{l{q*
f) :?{a{l{q*  reto.
g) :?{f{a{b*  reto.
h) :?{b{a{q* mede 45.
i) ^c?{a{f*==^c?{f{b*
j) ^c?{a{f*_l^c?{q{b*
<p>
k) ^c?{a{l*==^c?{f{l*
l) ^c?{a{q*==^c?{f{q*

24. Escreva em seu caderno:
a) uma propriedade dos losangos que no vale para todos os retngulos.
b) uma propriedade dos retngulos que no vale para todos os losangos.
<F+>
<R->

<207>
<R+>
<F->
25. Determine o valor da medida x no retngulo a seguir.

pcccccccccccccccm
l        26 *a _
l           *a   _
l         *a     _
l       *a       _
l     *a         _ 
lx  *a           _
l *a             _
hh:::::::::::::::j

26. Os ngulos opostos agudos de um losango medem 60. A diagonal maior desse losango separa-o em dois tringulos congruentes. 
<p>
  Quais so as medidas dos ngulos internos desses tringulos?

_`[{para as atividades de 27 a 30, pea orientao ao professor_`]

27. No quadrado {p{q{r{s, determine o valor das medidas x e y dos ngulos indicados.
28. No losango {a{b{c{d, determine o valor das medidas dos ngulos indicados por x, y, z e w.
29. No losango {a{b{c{d, determine o valor das medidas x e y.
30. No losango {p{q{r{s, determine o valor da medida x do ngulo indicado.
<F+>
<R->

Desafio

  (UEL -- MG) Embora o desenho a seguir parea representar uma figura em trs dimenses, ele foi feito no plano usando-se ape-
 nas losangos congruentes entre si. 
<p>
 Os ngulos internos desses losangos medem:
<R+>
<F->
a) 30 e 150
b) 36 e 72
c) 36 e 144
d) 45 e 135
e) 60 e 120 
<F+>
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<208>
Trapzios

  Voc j viu que:

<R+>
<F->
Trapzio  um quadriltero que tem apenas dois lados paralelos (base maior e base menor).

     A         B
     cccccccccce 
                 e
                   e
                     e
                       e
-------------------------u 
D                        C   
<p>
^c?{a{b*: base menor
^c?{c{d*: base maior
^c?{a{b*_l^c?{c{d*

Atividades

31. Responda considerando o trapzio {a{b{c{d da figura anterior.
a) :{a e :{d so congruentes, complementares ou suplementares? Justifique.
b) :{b e :{c so conguentes, complementares ou suplementares? Justifique.
c) As respostas dos itens a e b nos mostram uma propriedade dos trapzios. Como voc enunciaria essa propriedade?

32. Determine o valor das letras que aparecem nos trapzios a seguir.
<p>
a)
                e
                  e
                    e 115
          cccccccccceccccc 
          y         z e
                        e
                          e
118  x                 w  e
------------------------------o 

b)                
      cccccccccccccccccce
      2x-3y      x+3y e
                          e
                           e
   x-3y                x-y e
 ----------------------------u 

33. O quadriltero a seguir  um trapzio ^c?{a{b*_l^c?{c{d*. Copie-o e registre no caderno apenas as afirmaes verdadeiras.
<p>
A              B
ccccccccccccccc
                
                 
                  
                   
                    
      ---------------u
      D              C

a) m:{a+m:{b+m:{c+
  +m:{d=360
b) m:{b=m:{d
c) m:{b+m:{c=180
d) m:{d+m:{c=180
e) m:{a+m:{d=180
<F+>
<R->

Tipos de Trapzio

  Vamos analisar dois importantes tipos de trapzios.

<R+>
Trapzio retngulo  aquele que tem dois ngulos internos retos.
<R->
<p>
  No trapzio retngulo, um dos lados que no  base  perpendicular s duas bases.
  O trapzio {a{b{c{d a seguir  um trapzio retngulo: :{a e :{d so retos ^c?{a{d*#.^c?{a{b* e ^c?{a{d*#.^c?{d{c*.

<F->
A         B
pcccccccccce 
l            e
l              e
l                e
l                  e
v-------------------o 
D                  C
<F+>

<R+>
^c?{a{b* e ^c?{d{c* so as bases do trapzio {a{b{c{d.
<R->

<209>
<R+>
Trapzio issceles  aquele que tem os dois lados no paralelos congruentes, isto , de medidas iguais.
<R->
<p>
  Voc pode verificar, experimentalmente, medindo ngulos e segmentos, que no trapzio issceles a seguir tambm temos:

<R+>
<F->
:{p==:{q, :{s==:{r e ^c?{p{r*==^c?{s{q*

     P          Q
     ccccccccccc 
                 
                  
                   
                    
---------------------u
S                    R 

{p{q{r{s  um trapzio issceles de bases ^c?{p{q* e ^c?{r{s*.
Ento, ^c?{p{s*==^c?{q{r*
<F+>
<R->

   possvel demonstrar que esses fatos acontecem em todos os trapzios issceles, ou seja:
<p>
<R+>
<F->
Em um trapzio issceles, os ngulos adjacentes a uma mesma base so congruentes e as diagonais tambm so congruentes.

Atividades

34. Responda em seu caderno:
a) Num trapzio retngulo, um dos ngulos internos mede 53. Quanto medem os outros trs?
b) Num trapzio retngulo {e{f{g{h, o ngulo obtuso :{e mede o triplo do ngulo agudo :{f. Quanto medem :{e, :{f, :{g e :{h?

35. No trapzio issceles {p{q{r{s dado anteriormente, classifique em (V) ou (F) as afirmaes seguintes:
a) ^c?{p{q*==^c?{r{s*
b) ^c?{p{q*_l^c?{r{s*
c) ^c?{p{s*==^c?{q{r*
d) ^c?{p{s*_l^c?{q{r*
e) ^c?{p{r*==^c?{s{q*
f) :{p==:{q
g) :{r==:{s
<p>
h) :{p e :{s so suplementares.
i) :{r e :{s so suplementares.

36. Se um dos ngulos internos de um trapzio issceles mede 66, quanto medem os outros trs ngulos internos?
37. Em um trapzio issceles, as bases medem 12 cm e 2 cm e o permetro  de 40 cm. Determine a medida dos outros dois lados.
38. Determine o valor de x e as medidas dos ngulos internos do trapzio issceles {a{b{c{d a seguir.

     A          B
     ccccccccccc 
             2x 
                  
                   
                  x 
---------------------u
D                    C 
<p>
39. Um trapzio  issceles e a medida de um dos seus ngulos agudos corresponde a #;c da 
  medida de um dos seus ngulos obtusos. Quais so as medidas dos quatro ngulos internos desse trapzio?
<F+>
<R->

<210>
<R+>
<F->
40. Analise as seguintes afirmaes referentes a trapzios:
A) Tm apenas dois lados paralelos.
B) Tm dois ngulos retos.
C) Tm congruentes os dois lados que no so bases.
D) Tm dois pares de ngulos suplementares.
E) Tm as duas diagonais congruentes.
F) Tm os dois ngulos de cada base congruentes.
G) Tm um lado perpendicular s duas bases.
H) Tm a soma das medidas dos ngulos internos igual a 360.   
<p>
Agora, responda em seu caderno:
a) Quais afirmaes valem para todos os trapzios?
b) Quais afirmaes valem apenas para trapzios retngulos?
c) Quais afirmaes valem apenas para trapzios issceles?

41. Em um trapzio, os dois ngulos da base maior medem, respectivamente, 36 e 46. Determine a medida do ngulo agudo formado pelas bissetrizes dos outros dois ngulos.

Base mdia de um trapzio
<F+>
<R->

  Observe o trapzio {a{b{c{d a seguir, no qual ^c?{a{b* e ^c?{c{d* so as bases, e M e N so os pontos mdios dos lados ^c?{a{d* e ^c?{b{c*.
  O segmento ^c?{m{n*, que liga M(ponto mdio de ^c?{a{d*) e N(ponto mdio de ^c?{b{c*),  chamado de base mdia do trapzio {a{b{c{d.
<p>
<F->
      A          B
      ccccccccccc 
                  
                   
M ccccccccccccccccc N
                     
                      
-----------------------u
D                      C
<F+>

<R+>
<F->
Em todo trapzio, a medida da base mdia  igual  mdia aritmtica das medidas das bases maior e menor do trapzio.
m^c?{m{n*=?m^c?{a{b*+
  +m^c?{c{d**~2

Atividades

42. Mea as bases maior, menor e mdia no trapzio {a{b{c{d desenhado anteriormente e confira a propriedade enunciada.
<F+>
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<p>
<R+>
<F->
43. Determine a medida da base mdia de um trapzio sabendo que a medida da base maior  8,25 cm e a medida da base menor  6,15 cm. 
44. Sabendo que a base mdia de um trapzio mede 6,5 cm e a base maior mede 8 cm, qual  a medida da base menor?
<F+>
<R->

<211>
Leitura

Lgica e diagrama de Venn

  Todo brasileiro gosta de futebol.
  Isso  verdade?
   preciso usar as palavras todo, nenhum, sempre, qualquer e nunca com muito cuidado. Em geral,  mais apropriado usar outras palavras no lugar delas.
  Quando voc usa palavras como alguns, muitos, s vezes, frequentemente, voc est atento para as excees.
<p>
   mais apropriado dizer que muitos brasileiros gostam de futebol, pois alguns no gostam. 
  Uma importante ferramenta em Matemtica e nas atividades do dia a dia  o raciocnio lgico, que depende da seleo cuidadosa das palavras que voc usa. 
 Exemplo:
  No  correto dizer que todos os quadrilteros so paralelogramos, porm  correto dizer que todos os paralelogramos so quadrilteros. 
  Para tornar isso mais claro, voc pode usar o que chamamos de diagrama de Venn. O diagrama de Venn a seguir mostra como polgonos, quadrilteros e paralelogramos esto relacionados.

<F->
_`[{diagrama de Venn adaptado_`]
Legenda:
Polgonos: Laranja
Quadrilteros: Bege
Paralelogramos: Verde
<p>
 pcccccccccccccccccccccccccc 
 l Polgonos               _
 l   pcccccccccccccccccc   _
 l   l Quadrilteros   _   _
 l   l  pccccccccccc   _   _
 l   l  l Parale-  _   _   _
 l   l  l   logramos_   _   _                
 l   l  v-----------#   _   _ 
 l   v------------------#   _
 l                          _
 v--------------------------#      
<F+>

  A regio verde indica que todos os paralelogramos pertencem ao conjunto dos quadrilteros. A regio bege mostra que h alguns quadrilteros que no so paralelogramos.

<R+>
<F->
Agora  com voc!
1. Responda considerando o diagrama de Venn anterior:
a) Que tipos de quadrilteros podem ser includos somente na rea bege?
b) Que outras relaes o diagrama mostra?
<p>
_`[{para as atividades 2 e 3, pea orientao ao professor_`]

2. Use o diagrama de Venn _`[no adaptado_`] para responder s questes. Explique cada resposta dada.
a) O diagrama mostra que alguns paralelogramos so, ao mesmo tempo, retngulos e losangos?
b) O diagrama mostra que alguns retngulos no so losangos?
c) O diagrama mostra que todo losango  um paralelogramo?
d) O diagrama mostra que todo paralelogramo  um retngulo?

3. Use o diagrama de Venn _`[no adaptado_`] para responder s questes.
a) O que mostra a regio laranja?
b) O que mostra a regio rosa?
c) Desenhe um diagrama de Venn que mostre que alguns tringulos so tringulos retngulos, al-
<p>
  guns so obtusngulos e que h algum outro tipo de tringulo.
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<<212>
2. Circunferncias

  D para imaginar a humanidade sem a circunferncia?

  A roda foi uma das maiores invenes da humanidade.
  O antigo povo egpcio j fazia uso de toras de madeira para transportar grandes pesos.
  Veculos com rodas puxados por animais j eram usados na antiga Mesopotmia. Um dos vestgios deixados por essa civilizao  uma pedra de argila, datada de 3500 a.C., com o desenho de uma 
 carroa que usava discos de madeira como rodas.
<p>
<R+>
<F->
_`[{cinco fotos seguidas por suas legendas_`]
Legenda 1: Com o tempo, para que a roda se tornasse mais leve e veloz, foram-se fazendo aberturas, o que deu origem  roda com raios. Por volta de 2000 a.C., sumrios e persas usavam rodas feitas de madeira com aros e protegidas por uma circunferncia de metal para evitar o desgaste.
Legenda 2: Com seu movimento giratrio, a roda tornou-se parte integrante de engrenagens que movimentam mquinas e motores.
Legenda 3: No sculo XIX surgem as bicicletas com raios de arame nas rodas.
Legenda 4: Fotografia realizada durante a filmagem de *Tempos modernos*, em 1936, mostra Charles Chaplin, no papel de 
  Carlitos, lubrificando uma 
  mquina.
Legenda 5: Roda-d'gua ao lado do moinho, em Chilliwack, Canad.
<F+>
<R->
<p>
  A partir de agora voc vai estudar as posies relativas de uma reta e uma circunferncia, as posies relativas de duas circunferncias e os ngulos em uma circunferncia.

<213>
Atividades

<R+>
<F->
45. Responda em seu caderno:
a) Qual  a propriedade comum a todos os pontos de uma circunferncia?
b) O que  um raio de uma circunferncia?
c) O que  dimetro de uma circunferncia?
d) Como so as medidas de comprimento de todos os raios de uma circunferncia?
e) Como  a medida de um dimetro em relao  medida de um raio na mesma circunferncia?
<p>
f) O centro  um ponto da circunferncia?
g) Corda  todo segmento de reta cujas extremidades so pontos da circunferncia. Qual  a corda de maior medida?

_`[{circunferncias no adaptadas_`]

46. Use ^p=3,1, calcule e responda:
a) Qual  o comprimento de uma circunferncia com raio de 3,5 cm?
b) Qual  o comprimento de uma circunferncia que tem dimetro de 12 cm?
c) O comprimento de uma circunferncia  de 43,4 cm. Qual  a medida do raio? E do dimetro?

47. A sequoia, o cipreste-calvo montezuma e o baob so considerados as rvores que tm o tronco mais grosso do mundo. O 
<p>
  tronco de um dos maiores espcimes de sequoia mede 31,31 m de circunferncia.
Com base nessa informao, responda:
a) Como podemos determinar o dimetro do tronco sem cortar a rvore?
b) Qual  a medida do dimetro dessa sequoia?

48. Use rgua e compasso nesta atividade.
 Marque os pontos A e B distantes 5 cm um do outro.
 Localize um ponto C que dista 4 cm de A e 3 cm de B.
Converse com seus colegas e procurem justificar a construo feita.
<F+>
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<214>
<p>
<R+>
Posies relativas de uma reta e 
  de uma circunferncia
<R->

  Em um mesmo plano, uma reta e uma circunferncia podem ter um nico ponto comum, dois pontos comuns ou no ter pontos comuns. Veja:

<R+>
<F->
       t
       _
       _ 
    r  _
o:::::wC
       _
       _
       _

A reta t  tangente  circunferncia.
<p>
     _
     A
     _ 
     _  r
o:::w:::::
     _
     B
     _
     s

A reta s  secante  circunferncia.

          u
          _
          _ 
     r    _
o::::::: _
          _
          _
          _

A reta u  externa  circunferncia.
<F+>
<R->

  Qualquer reta tangente a uma circunferncia  perpendicular ao 
<p>
 raio no ponto de tangncia: t#.^c?{c{t*.

<F->
       C
       _
       _ 
       _
::::::o::::::::::o t
       T
<F+>
     
  Considera-se como distncia d de um ponto P a uma reta m dada a medida do segmento que vai desse ponto at um ponto da reta, perpendicularmente.

<F->
         oP          
          l
          l
         dl
          l   
      pcccpccc
      l_- l_- _
-----v---v---#-------o 
                      m    
<F+>

  Considere d a distncia do centro da circunferncia  reta dada 
<p>
 e r a medida do raio. Vamos comparar d e r nos trs casos apresentados anteriormente. 

<R+>
<F->
a) A reta  tangente  circunferncia: d=r

          _
          _ 
        r _
O o:::::w A==P
        d _
          _

b) A reta  secante  circunferncia: d < r

   B    P   A
:::w:::::::::w::::
        _
        _
    r   _ d
        _
        _
         a
         O
<p>
c) A reta  externa  circunferncia: d > r

           _
           _
      d    _
   r:::::::w
O r:::::w _P
      r  A_ 
           _
           _

<F+>
<R->
<215>
<R+>
Circunferncia inscrita e 
  circunferncia circunscrita a um 
  polgono
<R->

  Se os lados de um polgono so tangentes a uma circunferncia, dizemos que a circunferncia est inscrita no polgono.
  J no caso em que os vrtices do polgono pertencem  circunferncia, dizemos que a circunferncia est circunscrita ao polgono. 
<p>
<R+>
<F->
_`[{figuras no adaptadas, seguidas por suas legendas_`]
Legenda 1: Circunferncia inscrita no quadrado.
Legenda 2: Circunferncia circunscrita ao hexgono.
<F+>
<R->

  Se a circunferncia est inscrita em um polgono, dizemos que o polgono est circunscrito  circunferncia. E se a circunferncia est circunscrita ao polgono, dizemos que o polgono est inscrito na circunferncia.

Atividades

<R+>
_`[{para as atividades de 49 a 56, pea orientao ao professor_`]
<R->

49. Atividade em dupla
  Examinem a figura _`[no adaptada_`] na qual ~:,?{p{a* e ~:,?{p{b* so retas tangentes  circunfern-
<p>
 cia. Provem que ^c?{p{a* e ^c?{p{b* so segmentos congruentes. Uma dica: Se dois tringulos retngulos tm dois lados congruentes, o terceiro lado tambm  congruente.
<R+>
50. Determine a medida do segmento ^c?{p{t*, tangente  circunferncia, sabendo que o raio da circunferncia mede 3,5 cm e que o permetro do quadriltero {p{t{o{q  de 28 cm.

_`[{figura no adaptada_`]
<R->

<216>
<R+>
51. Se os lados de um tringulo so tangentes a uma circunferncia, dizemos que a circunferncia est inscrita no tringulo, como mostra a figura _`[no adaptada_`]. 
<R->
  Observe as medidas e calcule o permetro desse tringulo.
<R+>
52. Pode-se dizer que na figura _`[no adaptada_`] a circunferncia est inscrita no quadriltero? Por qu? 
<R->
<p>
53. Atividade em dupla
  Observem as figuras _`[no adaptadas_`] e respondam s questes.
<R+>
<F->
a) O que  circunferncia circunscrita a um tringulo?
b) O que  e como se obtm o circuncentro de um tringulo?
c) O que  circunferncia inscrita em um tringulo?
d) O que  e como se obtm o incentro de um tringulo?
e) Como se obtm os pontos de tangncia dos lados do tringulo com a circunferncia inscrita?

54. Usando rgua e compasso, construa:
a) um tringulo com lados de 6 cm, 5 cm e 4 cm e a circunferncia circunscrita a ele. 
b) um tringulo com lados de 7 cm, 5 cm e 5 cm e a circunferncia inscrita nele. 
<p>
55. A, B e C representam trs bairros de uma cidade. Se uma escola for construda para atender aos trs bairros, qual  sua localizao ideal?
<F+>
<R->
  Faa uma construo em seu caderno localizando o ponto em que deve ser construda a escola.
<R+>
56. Desenhe um quadrado com permetro de 12 cm. Depois, na mesma figura trace a circunferncia inscrita e a circunferncia circunscrita a esse quadrado.
<R->

<217>
<R+>
Posies relativas de duas 
  cicunferncias
<R->

  Duas circunferncias que tm o mesmo centro so denominadas circunferncias concntricas.
  Na figura _`[no adaptada_`], C1 (de centro O1) e C2 (de centro O2) so circunferncias concntricas, pois os dois centros coincidem O1==O2. 
<p>
  Veja agora as diferentes posies de duas circunferncias distintas, quando consideramos o nmero de pontos comuns s duas:

<R+>
1 caso) Circunferncias com um s ponto comum (circunferncias tangentes).
<R->

_`[{o professor diz_`]
  "Os dois centros e o ponto de tangncia so sempre colineares."

d  a distncia entre os centros.

<R+>
<F->
_`[{circunferncias no adaptadas_`]

Tangentes externas: d=r1+r2
Tangentes internas: d=r1-r2, com r1>r2

2 caso) Circunferncias com dois pontos comuns (circunferncias secantes).

r1-r2<d<r1+r2, com r1>=r2
<p>
3 caso) Circunferncias sem ponto comum.

Externas: d>r1+r2
Internas: d<r1-r2, com r1>r2
<F+>
<R->

<218>
Atividades 

<R+>
<F->
_`[{para as atividades 57 e 58, pea orientao ao professor_`]

57. Quais so as posies relativas das duas circunferncias _`[no adaptadas_`] em cada caso?
58. Observe na figura _`[no adaptada_`] as circunferncias tangentes externas duas a duas. Sabendo que os raios medem 4 cm, 3 cm e 2 cm, calcule as medidas dos lados do tringulo O1O2O3 com vrtices nos centros das circunferncias. Depois, classifique esse tringulo quanto s medidas de seus lados.
<p>
59. Duas circunferncias de centros O e P so secantes e seus raios medem 4 cm e 9 cm. Determine os possveis valores da distncia entre O e P.
60. Duas circunferncias tangenciam-se externamente e a distncia entre os centros  de 10 cm. A medida do raio da circunferncia menor  de #;c da medida do raio da circunferncia maior. Quanto medem esses raios?

ngulos em uma circunferncia 

ngulo central
<F+>
<R->

  :?{a{o{b*  um ngulo central.
  Suas caractersticas so:
<R+>
<F->
 o vrtice O  o centro da circunferncia;
 seus lados determinam dois raios da circunferncia ^c?{o{a* e ^c?{o{b*.
<F+>
<R->
<p>
_`[{o professor diz_`]
  "Quando traamos um ngulo central, ficam determinados dois arcos. Se o ngulo tem medida x, dizemos que os arcos tm medidas angulares x e 360-x."

<219>
  Examine este exemplo:
<R+>
<F->
 :?{a{o{b*: ngulo central de medida x
 ^:?{a{b* (em azul): arco de medida angular x
 ^:?{a{s{b* (laranja): arco de medida angular 360-x

Uma aplicao do ngulo central: 
  traado do hexgono regular
<F+>
<R->

  A figura _`[no adaptada_`] mostra um hexgono regular inscrito em uma circunferncia. Voc j sabe: ligando o centro O aos vrtices, obtemos seis tringulos.
  Analisando o tringulo {a{o{b, deduzimos que ele  um tringulo equiltero, porque o ngulo cen-
<p>
 tral :?{a{o{b* mede 60 (3606), e ^c?{a{o*==^c?{b{o*, pois so raios. Logo, o tringulo {a{o{b  issceles de base ^c?{a{b*.
  Ento: m:?{o{a{b*=
 =m:?{o{b{a*=?180-60*~2=
 =60, ou seja, tringulo {a{o{b  issceles equiltero.
  Analogamente, os outros tringulos tambm so equilteros.
  Se os seis tringulos so equilteros, a medida do lado do hexgono regular  igual  medida do raio. 

_`[{o professor diz_`]
  "Assim, fica fcil traar um hexgono regular com lado de medida l em uma circunferncia."

  Acompanhe as etapas que devemos seguir:
<R+>
<F->
a) Traamos com compasso uma circunferncia cujo raio mede l.
<p>
b) Com a mesma abertura do compasso dividimos a circunferncia em seis partes iguais. 
c) Ligamos os pontos obtidos de modo a traar um hexgono regular cujo lado mede l.

Atividades

_`[{para as atividades de 61 a 65, pea orientao ao professor_`]

61. Observe a figura _`[no adaptada_`] e responda: Qual  a medida do arco ^:?{a{m{b*?
<F+>
<R->
<220>
<R+>
<F->
62. Em cada caso, calcule a medida do ngulo central determinado pelos ponteiros destes relgios que marcam horas exatas.

63. Construa em seu caderno:
a) um hexgono regular com lados de 2 cm.
b) um hexgono regular com permetro de 18 cm.
<p>
64. Geometria e arte
<F+>
<R->
  Use sua criatividade e construa um mosaico ou uma faixa decorativa com hexgonos regulares. Pinte sua obra como quiser.
<R+>
65. Usando rgua e compasso, construa um tringulo equiltero inscrito em uma circunferncia com 4 cm de raio. (Sugesto: Faa a construo do hexgono regular e escolha os vrtices adequadamente.)

Leitura

Um pouco da histria da 
  geometria
<R->

  A geomtria dos caldeus e assrios (3000 a.C.) tinha um ca-
 rter essencialmente prtico e era utilizada nos diversos trabalhos rudimentares de agrimensura. Esses povos sabiam decompor, para determinao da rea, um terreno irregular em tringulos retngu-
<p>
 los, retngulos e trapzios. As reas do quadrado (como o caso particular do retngulo), do tringulo retngulo e do trapzio so corretamente estabelecidas. Chegaram tambm (em 3000 a.C.) ao clculo do volume do cubo, do paraleleppedo e talvez do cilindro.
   interessante assinalar que na representao dos carros assrios as rodas apareciam sempre com 6 raios, opostos diametralmente e formando ngulos centrais iguais. Isso nos leva a concluir, com segurana, que os caldeus conheciam o hexgono regular e sabiam dividir a circunferncia em 6 partes iguais. Cada uma dessas partes da circunferncia era dividida em 60 partes tambm iguais (por causa 
 do sistema de numerao), resultando da a diviso total da circunferncia em 360 partes ou graus.

<R+>
<F->
Fonte: *Antologia da Matemtica*. Malba Tahan. vol. 1. 
<p>
_`[{foto seguida por sua legenda_`]
Legenda: Baixo-relevo que decora o salo do trono do palcio de 
  Assurnasirpal II (883 a.C.-859 a.C.) em Nimrud, na Mesopotmia, atualmente territrio do Iraque. No detalhe, roda de carro com 6 raios.
<F+>
<R->

<221>  
<R+>
66. Construindo uma rosa dos ventos
<R->
  Para que possamos ter pontos de referncia que indiquem direes seguras e exatas em qualquer lugar da superfcie terrestre, foram criados pontos universais de referncia chamados pontos cardeais. A rosa dos ventos rene os pontos 
 cardeais, colaterais e subcolaterais, indicando assim 16 direes diferentes. Para desenh-la, voc vai precisar de uma folha de papel sem pauta, compasso, lpis de cor e esquadro.
<p>
  Desenhe dois crculos com o mesmo centro (crculos concntricos): um com 1,5 cm de raio e outro com 5 cm de raio.
  Trace um segmento de reta que contenha o dimetro do crculo menor e o do crculo maior. Com o esquadro, faa outro dimetro que seja perpendicular ao primeiro. Desenhe agora outros dois dimetros formando ngulos de 45 com os dois primeiros que voc j traou. Marque as extremidades dos dimetros dos dois crculos e ligue essas extremidades, obtendo assim o desenho da rosa dos ventos com os pontos cardeais e colaterais. Apague as linhas desnecessrias e pinte-o como quiser. (Esta atividade foi extrada e adptada de: *Experincias matemticas* -- 6. So Paulo, CENP, 6 srie, SEE-SP.)

ngulo inscrito

  :?{e{f{g*  um ngulo inscrito de arco correspondente ^:?{e{g*.
<p>
_`[{figura no adaptada_`]

  Suas caractersticas so:
<R+>
<F->
 o vrtice F  um ponto da circunferncia;
 os lados determinam duas cordas na circunferncia ^c?{f{e* e ^c?{f{g*;
 o arco ^:?{e{g* correspondente no contm o vrtice. 

Atividades

_`[{para as atividades de 67 a 69, pea orientao ao professor_`]

67. Use rgua, compasso e transferidor para construir:
a) um ngulo central de 100 em uma circunferncia com 2 cm de raio. 
b) um ngulo inscrito de 30 em uma circunferncia de 3 cm de raio.
<p>
Agora, responda: no item a, quais so as medidas angulares dos dois arcos determinados pelo ngulo central?

68. Em cada uma destas figuras _`[no adaptadas_`] esto assinalados um ngulo central e um ngulo inscrito, com o mesmo arco correspondente em circunferncias de centro O. Observe as trs figuras, troque ideias com 
  um colega e responda: Qual  a relao entre as medidas desses dois ngulos?
<F+>
<R->
<222>
<R+>
69. Examine os dois primeiros exemplos. Depois determine as medidas nas outras duas figuras. Responda: Como so as medidas dos dois ngulos inscritos de mesmo arco correspondente nas quatro figuras _`[no adaptadas_`]?
<p>
Relao entre ngulo central e 
  ngulo inscrito
<R->

<R+>
Se um ngulo central e um ngulo inscrito em uma circunferncia tm o mesmo arco correspondente, ento a medida do ngulo central  o dobro da medida do ngulo inscrito.
<R->

  Podemos demonstrar essa propriedade analisando trs situaes que envolvem os ngulos inscrito e central de mesmo arco.

_`[{figuras no adaptadas_`]

<R+>
1) Vamos considerar a situao em que um dos lados do ngulo inscrito determina um dimetro da circunferncia.
<R->
  Assim:
  :?{c{o{b*  um ngulo central de arco ^:?{b{c* e medida x.
<p>
  :?{c{a{b*  um ngulo inscrito tambm de arco ^:?{b{c* e medida y.
  ^c?{a{c*  um dimetro da circunferncia.
  O tringulo {a{o{b  issceles, pois ^c?{o{a*==^c?{o{b* (raios). Logo, :?{a{b{o* tambm mede y.
  Como :?{c{o{b*  um ngulo externo do tringulo {a{o{b, sua medida x  igual  soma das medidas dos dois ngulos internos no adjacentes a ele y+y.
  Logo, x=y+y ou x=2y, como queramos demonstrar.
<R+>
2) Agora vamos analisar esta outra situao em que o ngulo 
  inscrito e o ngulo central de mesmo arco esto em outra posio. 
<R->
  Para demonstrar a propriedade neste caso, traamos o dimetro ^c?{a{d* e usamos duas vezes o mesmo raciocnio da situao anterior:
  z=2w e x+y=2y+w 
<p>
  Substituindo z por 2w na segunda igualdade, temos:
  x+2w=2y+2w
  Portanto, x=2y, como queramos demonstrar.
<R+>
3) Finalmente, analisaremos esta situao:
<R->
  Traamos o dimetro ^c?{a{d* de modo que a+b=y e c+d=x.
  Os tringulos {a{o{b e {a{o{c so issceles, pois tm dois lados de mesma medida (raios). Nos tringulos issceles, os ngulos da base tm a mesma medida. Da, :?{a{b{o* mede a e :?{a{c{o* mede b.
  :?{b{o{d*  um ngulo externo ao tringulo {a{o{b. Ento, c=2~a.
  :?{c{o{d*  um ngulo externo ao tringulo {a{o{c. Ento, d=2b.
  Somando membro a membro, temos:
  c+d=2a+2b
  c+d=2a+b
  x=2y, como queramos demonstrar. 
<p>
Atividades

<R+>
<F->
_`[{para as atividades de 70 a 78, pea orientao ao professor_`]

70. Mea os ngulos e confira a relao entre o ngulo inscrito e o central para os exemplos 
  _`[no adaptados_`].
71. Considerando o que foi demonstrado, prove mais esta importante propriedade, cuja descoberta  atribuda a Tales de Mileto (+:-580 a.C.):

_`[{figura no adaptada_`]

Se ^c?{a{b*  um dimetro e C  um ponto qualquer da circunferncia, distinto de A e B, ento o tringulo {a{b{c  retngulo em C, isto , :{c  reto.

72. Ainda usando o que foi demonstrado, prove que:
<p>
Se dois ngulos inscritos tm o mesmo arco correspondente, ento suas medidas so iguais.

_`[{figura no adaptada_`]

(Sugesto: Compare x e y com a medida do ngulo central de arco ^:?{b{c*.)
<F+>
<R->

<224>
<R+>
<F->
73. Calcule o valor de x nas figuras _`[no adaptadas_`]. Considere O o centro das circunferncias.
74. Considere O o centro da circunferncia. Qual  o valor de x?
75. Na circunferncia da figura _`[no adaptada_`], O  o centro, :?{m{r{h* mede 2x-1 e :?{m{o{h* mede 3x+18. Qual  o valor de x?
76. Calcule a medida x assinalada na figura `[no adaptada_`].
<p>
77. Na figura _`[no adaptada_`], ^c?{a{c* e ^c?{b{d* so dimetros. Prove que o quadriltero {a{b{c{d  um retngulo.
78. Em um octgono regular o permetro  de 96 cm. Calcule a medida de um lado, a medida de um ngulo interno e a medida de um ngulo central. 
<F+>
<R->

<225>
ngulo de segmento

  Um ngulo com o vrtice na circunferncia, um dos lados sobre uma tangente e o outro sobre uma secante, determinando uma corda,  chamado ngulo de segmento. 
  Na figura _`[no adaptada_`], :?{a{b{c*  um ngulo de segmen-
 to, e o arco correspondente  ^:?{a{b*.

_`[{o professor diz_`]
  "Os matemticos j provaram que um ngulo de segmento e um ngulo inscrito tm medidas iguais quando o arco correspondente  o mesmo."
<p>
Atividades

<R+>
<F->
_`[{para as atividades de 79 a 82, pea orientao ao professor_`]

79. Justifique a seguinte afirmao: A medida de um ngulo de segmento  a metade da medida do ngulo central de mesmo arco.
80. Calcule a medida x do ngulo de segmento de cada figura _`[no adaptada_`].

81. Responda:
a) Qual  a medida x do ngulo de segmento assinalado na figura _`[no adaptada_`]?
b) Qual  a medida c do ngulo central?
<p>
82. Em uma circunferncia de centro O, a reta {a{b  tangente em A, o segmento de reta ^c?{a{c*  uma corda e 
  :?{c{a{b* mede 50. Calcule as medidas de :?{o{a{b* e :?{c{o{a*.
83. O que voc achou mais difcil neste captulo? E mais fcil? Responda em seu caderno.

Raciocnio lgico
<F+>
<R->

  Um micro-nibus pode transportar 20 adultos ou 24 crianas. Se 15 adultos j esto nesse micro-nibus, quantas crianas ainda podem entrar?

               ::::::::::::::::::::::::

<226>
Reviso cumulativa

<R+>
<F->
1. Classifique as afirmaes em verdadeiras (V) ou falsas (F): 
<p>
a) Todo paralelogramo  um quadriltero. 
b) Todo trapzio  um quadriltero. 
c) Todo losango  um quadrado. 
d) Todo losango  um paralelogramo. 
e) Todo quadrado  um retngulo. 
f) Todo trapzio  um paralelogramo. 
g) Existe retngulo que  quadrado. 
h) Existe trapzio que  paralelogramo. 
i) Existe quadriltero que no  paralelogramo nem trapzio. 
j) Nenhum quadriltero tem trs diagonais. 
k) No existe losango que  quadrado. 
l) No existe trapzio com ngulo interno reto. 
m) No existe quadriltero com os quatro ngulos internos agudos. 
<p>
2. Em uma regio retangular, um dos lados mede 8 cm, uma diagonal mede 10 cm e o permetro  de 28 cm. Determine: 
a) as medidas dos outros trs lados; 
b) a medida da outra diagonal; 
c) a rea dessa regio. 

3. Se x  um nmero real tal que 5<x<=9 e x<7, ento podemos afirmar que: 
a) 7<x<=9. 
b) 5<x<7. 
c) x<5.
d) x<7. 

4. Considere uma circunferncia de 3,8 cm de raio. Qual  a posio de uma reta em relao  circunferncia para cada um destes valores da distncia d do centro da circunferncia  reta? 
a) d=3,5 cm 
b) d=3,8 cm 
c) d=4 cm
<p>
5. Qual  a medida do ngulo formado pelos ponteiros do relgio s 7 h 20 min? 
6. No bairro onde Rosana mora h um trecho no qual o traado das ruas  meio complicado. A rua dos Lees e a rua dos Tigres so paralelas. 
<F+>
<R->
  Veja a figura _`[no adaptada_`] e descubra a medida do ngulo que est indicado por x. 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
<F->
7. Copie as trs afirmaes verdadeiras: 
a) Existe nmero natural par que  nmero primo. 
b) No existe divisor de nmero mpar que seja par. 
c) Todo mltiplo de nmero mpar  nmero mpar. 
d) A soma de dois nmeros mpares  sempre par. 
<p>
8. Em uma circunferncia de centro O, um ngulo inscrito :?{a{b{c* mede 40. Determine as medidas do ngulo central :?{a{o{c* e de um ngulo de segmento do arco correspondente ^:?{a{c*. 
9. Considerando os divisores positivos de 30 e sorteando um deles, qual  a probabilidade de sair um mltiplo de 6, dada em porcentagem? 
10. Em um quadriltero {a{b{c{d, os ngulos internos :{a e :{d so retos e :{b mede o triplo de :{c. Calcule as medidas de :{b e :{c. 
11. Duas circunferncias tangenciam-se internamente. O raio de uma delas mede 5 cm e a distncia entre os centros  de 2 cm. Quanto mede o raio da outra? 
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<227>
<p>
Para ler, pensar e divertir-se

Ler

"Circunferncia" feita com retas

   possvel obter uma circunferncia traando apenas linhas retas?
  O desenho _`[no adaptado_`] que apresentamos, feito por artista minucioso, mostra que essa proeza grfica  realizvel. 
  Na parte central da figura aparece uma "circunferncia" formada exclusivamente por feixes de reta. 
  Do ponto de vista rigorosamente matemtico, a parte central da figura, que parece ser uma circunferncia,  apenas um polgono regular convexo com 33 lados. 

<R+>
Fonte: *As maravilhas da Matemtica*. Malba Tahan. Rio de Janeiro, Bloch, 1972.
<R->
<p>
Pensar

<R+>
A intuio, s vezes, falha! Da 
  a necessidade da demonstrao
<R->

  Imagine voc enrolando um novelo de linha ao longo da "linha do equador" de um limo e seu colega fazendo isso tambm, mas 3 cm afastados da "linha do equador" do limo, como mostra a figura _`[no adaptada_`]. 
  Agora, imagine que voc e ele esto fazendo a mesma coisa, mas numa laranja grande. 
  A qual circunferncia o seu colega adiciona mais linha quando afasta 3 cm:  do limo ou  da laranja? 
  A intuio diz  maioria de ns que   da laranja, mas a resposta correta  que seu colega adiciona exatamente a mesma quantidade de linha a cada uma delas 2.^p.3 cm ou cerca de 19 cm. Veja a demonstrao: 
<p>
<R+>
<F->
Circunferncias do limo
 C1=2^pr
 C2=2^pr+3=2^pr+2^p.3

Circunferncias da laranja 
 C3=2^pr 
 C4=2^pr+3=2^pr+2^p.3
<F+>
<R->
  O acrscimo  igual nas duas situaes: 2^p.3 cm ou, aproximadamente, 19 cm. 

Divertir-se

<R+>
Adivinhando o dia e o ms do 
  aniversrio de seu amigo
<R->

  Pea a seu amigo que escreva o nmero do ms em que ele nasceu. Depois, pea que ele multiplique esse nmero por 5, adicione 6, multiplique por 4, adicione 9, multiplique por 5, adicione o dia do ms em que ele nasceu. Pergunte-lhe o resultado final. 
<p>
  Se voc subtrair 165 do resultado que ele disser, encontrar nos ltimos dois algarismos o dia 
 do nascimento dele e, nos outros algarismos, o ms em que ele nasceu. 

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Sexta Parte



